证明:若正整数n不能被2 和3整除,则n2-1必能被24整除.
【正确答案】：分析n不能被2整除，则它必然是一个奇数,它又不能被3整除,则它应具有形式3p+1或3p+2,综合前面的要求(是奇数),故此数应具有两种可能的表达式:
(1) n=3p+1,p为偶数;
(2) n=3p+2,p为奇数.
证明由上面分析可知,n必须是奇数,故利用教材本节例题3的结论(任意一个奇数的平方减去1都能被8整除),可以简化本题的证明,现只需再证明n2-1能被3整除即可.
首先令n=3p+1,p为偶数,则
N2-1=(n- 1)(n+1)=3p·(3p+2)，
显然能被3整除.
再令n=3p+2,p为奇数,则
n2-1 =(n-1)(n+1)=(3p+1)(3p+3)
=3(p+ 1)(3p+1)，
亦能被3整除.
综合以上结论命题得证.