已知连续函数f(x)满足f(x)=∫x0tf(t)dt+(1/2)x2，试求f(x)．

已知连续函数f(x)满足f(x)=∫^x₀tf(t)dt+(1/2)x²，试求f(x)．
【正确答案】：已知等式两端同时对x求导，得f′(x)=xf(x)+x，即f′(x)-xf(x)=x．此为一阶线性非齐次微分方程，直接利用公式有 f(x)=e^∫xdx[∫xe^∫-xdxdx +C]=e^{(1/2) x²}dx+C]=Ce^(1/2)x²-1，利用已知关系式知，f(0)=0，代人通解表达式，有0=Ce⁰-1=C-1，即C=1，故所求f(x)为f(x)=e^(1/2)x²-1．

已知连续函数f(x)满足f(x)=∫x0tf(t)dt+(1/2)x2，试求f(x)．

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