证明方程x=αsinx+b(α＞b，b>0)至少有一个不超过α+b的正根．
【正确答案】：令f(x)=asinx+b-x，显然f(x)在[0，α+b]上连续且f(0)=b＞0，f(α+b)=α[sin(α+b)-1]．若sin(α+b)<1，则f(α+b)<0,f(0)>0，由取零值定理知f(x)=0在(0，α+b)内至少有一根；若sin(α+b)=1，此时f(α+b)=0，α+b就是f(x)=0的根．故不论何种情况f(x)=0在[0，α+b]总有一根．即x=asinx+b至少有一个不超过α+b的正根．
【名师解析】:首先，定义函数f(x) = αsinx + b - x。由于α > b > 0，函数f(x)在区间[0, α+b]上连续。
接下来，计算f(x)在区间端点的值。当x = 0时，f(0) = αsin0 + b - 0 = b > 0。当x = α+b时，f(α+b) = αsin(α+b) + b - (α+b) = α[sin(α+b) - 1]。
现在分两种情况讨论：
1. 如果sin(α+b) < 1，那么sin(α+b) - 1 < 0，因此f(α+b) = α[sin(α+b) - 1] < 0。由于f(0) > 0且f(α+b) < 0，根据零点定理，存在至少一个c ∈ (0, α+b)使得f(c) = 0。这意味着方程x = αsinx + b在(0, α+b)区间内至少有一个根。
2. 如果sin(α+b) = 1，那么f(α+b) = α[1 - 1] = 0，此时α+b就是方程x = αsinx + b的一个根。
综上所述，无论sin(α+b)的值如何，方程x = αsinx + b在区间[0, α+b]上至少有一个根。因此，方程至少有一个不超过α+b的正根。