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高等数学（工本）(00023)
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设函数f(x)在区间[0，1]上连续，证明．∫01dy∫1√yeyf(x)dx=∫01(e-ex2)f(x)dx.
分类: 高等数学（工本）(00023)
发布时间: 2024-08-03 20:10
浏览量: 4
设函数f(x)在区间[0，1]上连续，证明．
∫
0
1
dy∫
1
√y
e
y
f(x)dx=
∫
0
1
(e-e
x
2
)f(x)dx.
【正确答案】：[证明]设∫∫
D
e
y
f(x)dxdy=∫
0
1
dy∫
0
√y
e
y
f(x)dx, 则积分区域D={0≤x≤1，x
2
≤y≤1)交换二次积分的积分次序有 ∫
0
1
dy∫
0
√y
e
y
dx=∫∫
D
e
y
f(x)dxdy= ∫
0
1
dx∫
x
2
1
e
y
f(x)dy =∫
1
0
f(x)e
y
∣
x
2
1
dx= ∫
1
0
(e-e
x
2
)f(x)dx 所以等式成立．
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