计算：∬∑xdydz+ydzdz+zdxdy，∑是旋转抛物面：z=x2+y2，z≤1部分的外侧

计算：∬∑xdydz+ydzdz+zdxdy，∑是旋转抛物面：z=x2+y2，z≤1部分的外侧
【正确答案】：∬∑xdydz=∬∑1x1dydz+∬∑2 x2dydz 其中∑1：前半抛物面=x1=√z-y2前侧， ∑2：后半抛物面x2=-√z-y2后侧 它们在Oyz面上投影区域为Dyz：y2≤z≤1． ∬∑xdydz=∬Dyz(√2-y2)dydz-∬Dyz(-√z-y2)dydz =2∬Dyz(√z-y2)dydz=2∫-11dy∫y21(√z-y2)dz =4/3∫-11(1-y2)3/2dy=8/3∫0πcos4θdθ =8/3•(3/4)•(1/2)•(π/2)=π/2 由对称性知， ∬∑ydzdx=π/2 又∑在Oxy面的投影区域Dxy：x2+y2≤1且投影的符号为负． 因此， ∬∑zdxdy=- ∬Dxy(x2+y2)dxdy=-∫02πdθ∫01r3dr=-(π/2) 故 ∬∑xdydz+ydzdz+zdxdy=π/2+π/2-π/2=π/2。