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设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1．
分类: 线性代数(02198)
发布时间: 2024-08-15 18:48
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设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1．
【正确答案】：证明：设λ
1
，λ
2
，…，λ
n
为A的特征值，由于A正定，则λ
1
＞0，λ
2
＞0，…，λ
n
＞0．而A+E的 特征值为λ
1
+1，λ
2
+1，…，λ
n
+1，易知λ
1
+1＞1，λ
2
+1＞1，…，λ
n
+1＞1，故|A+E|=(λ
1
+1)(λ
2
+1)…(λ
n
+1)＞1．
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